算法之Manacher

算法之Manacher

给定一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串?

回文是一个正读和反读都相同的字符串,例如,“aba” 是回文,而 “abc” 不是。由于回文分为偶回文(比如 bccb)和奇回文(比如 bcacb),而在处理奇偶问题上会比较繁琐,所以这里我们使用一个技巧,具体做法是:在字符串首尾,及各字符间各插入一个字符(前提这个字符未出现在串里)。举个例子:s=”abbahopxpo”,转换为s_new=”#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#”

定义一个辅助数组int p[],其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径,例如:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
s[i] # a # b # b # a # h # o # p # x # p #
p[i] 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1

可以看出,p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来可以得到如下结论:

  1. 设置两个变量,mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界,也就是mx = id + p[id]
  2. 如果mx > i,那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。
  3. 对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了。

对于第二点的分析如下:

当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有 P[i] = P[j],见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能老老实实去匹配了。

p[i]的最大值就是我们的最终结果。

对于manacher 算法:

  • 时间复杂度为 $O(n)$
  • 空间复杂度为 $O(n)$
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public class Manacher {
public String longestPalindrome(String s) {
String newStr = preProcess(s);
// rad[i]表示以i为中心的回文的最大半径,i至少为1,即该字符本身
int [] rad = new int[newStr.length()];
// right表示已知的回文中,最右的边界的坐标
int right = -1;
// id表示已知的回文中,拥有最右边界的回文的中点坐标
int id = -1;
// 2.计算所有的rad
// 这个算法是O(n)的,因为right只会随着里层while的迭代而增长,不会减少。
for (int i = 0; i < newStr.length(); i ++) {
int r = 1;
if (i <= right) {
// 2.1.确定一个最小的半径, 新的点落在已有回文中,
// 重点理解
r = Math.min(rad[id] - i + id, rad[2 * id - i]);
}
// 2.2.尝试更大的半径
while (i - r >= 0 && i + r < newStr.length() && newStr.charAt(i - r) == newStr.charAt(i + r)) {
r++;
}
// 2.3.更新边界和回文中心坐标
if (i + r - 1> right) { // i的边界 在边界外
right = i + r - 1;
id = i;
}
rad[i] = r;
}
// 3.扫描一遍rad数组,找出最大的半径
int maxLength = 0;
int maxValuePos = 0;
int Pos = 0;
for (int r : rad) {
if (r > maxLength) {
maxLength = r;
maxValuePos = Pos;
}
Pos++;
}
int realLen = maxLength - 1;
String huiwen;
StringBuffer realHuiwen = new StringBuffer();
if (realLen == 1) {
return newStr.substring(maxValuePos,maxValuePos+1);
} else {
huiwen = newStr.substring((maxValuePos + 1 - rad[maxValuePos]), maxValuePos + rad[maxValuePos]);
//去掉辅助字符
for (int j = 0; j < huiwen.length(); j++) {
if (j % 2 != 0)
realHuiwen = realHuiwen.append(huiwen.charAt(j));
}
return realHuiwen.toString();
}
}

// 为了避免奇数回文和偶数回文的不同处理问题,在原字符串中插入'#',将所有回文变成奇数回文
public String preProcess(String str) {
StringBuilder newStr = new StringBuilder();
newStr.append('#');
for (int i = 0; i < str.length(); i ++) {
newStr.append(str.charAt(i));
newStr.append('#');
}
return newStr.toString();
}
}
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