比率指标归因：组间组内拆解与辛普森悖论

转化率是电商最常被盯的指标，也是最难说清的指标——因为它是比率，不是数量。

这个月「好物优选」整体支付转化率从 21.00% 涨到 21.80%，涨了 0.8 个百分点。周会上产品经理问：“是新客变好了，还是老客变好了？” 分群数据拉出来，新客 25% → 26%，老客 15% → 16%，两个都在涨，各涨 1 个百分点。可 1 + 1 ≠ 0.8。差的那 0.2 个百分点藏在第三个数里：新客占比从 60% 掉到 58%，老客从 40% 升到 42%。整体转化率是按人数加权的平均，权重一动，平均值就跟着动。

比率指标的变化，从来不是"一个数在动"，而是"若干个比率在动"加"若干个权重在动"。 组间组内拆解把这两部分分开算：各自贡献多少个百分点，加起来精确等于 ΔY，一个残差都不留。辛普森悖论不是另一个故事，它就是这套公式的日常形态。

本文讲清三件事：公式怎么推出来的（第三节）、怎么在真实数据上跑（第四节）、以及什么时候它会骗你（第六、七节）。

一、比率型指标为什么不能直接拆

第一篇 按可加性把指标分成三类，转化率属于"不可加"：各分区的转化率加起来不等于整体转化率。这不是精度问题，是量纲问题。

拿本期的数直接看：

三种算法给出三个数。直接相加最离谱：它把两个互不相干的比率堆成了一个 40% 的"转化率"。简单平均也不算错——如果新老客人数一样，它是对的；可实际不是，新客是老客的 1.5 倍，多出来的人不该和少的人平起平坐。

所以第一篇给的结论是"比率指标要先换表示再拆"。换什么表示？换成加权平均：

整体转化率 = Σ (人群 i 的转化率 × 人群 i 的占比)

这一步换完，问题就从"各分区转化率怎么加起来"变成了"整体这个加权平均里，哪些因子在动"。

二、关键洞察：比率是加权平均

展开上面那个式子，等号右边有两个东西会动。

人群自身的比率（记作 Yᵢ）：新客从 25% 涨到 26%，老客从 15% 涨到 16%。这是转化率自己的故事，改版、定价、货品、客服都可能驱动它。

人群的占比（记作 Rᵢ）：新客从 60% 掉到 58%，老客从 40% 升到 42%。这是"谁来了"的故事，由投放预算分配、获客策略、渠道结构、老客自然复购比重共同决定。

这两件事的性质完全不同。Yᵢ 变了，说明产品或运营动作生效了；Rᵢ 变了，说明流量结构变了。结构变化本身也是结果的成因之一，不是噪音。 占比 Rᵢ 背后站着真实的业务动作——预算从哪条渠道挪到哪条、是不是在把新客往老客导、老客复购的自然比重是不是在上升。这些动作会直接改写整体转化率，量级不小。

本期就是活例子：新客转化率是 26%，老客只有 16%。新客占比每掉 1 个百分点，整体就被往下拽一点。新客占比这个月掉了 2 个百分点，正好抵消掉一部分产品改进的成果。

这就引出了本文的核心洞察：只要各人群的转化率不相等，“谁来了"和"来的人表现如何"就会互相拉扯。 当两个方向的力度接近时，整体的变化方向可以和每个分群都不一样——这就是辛普森悖论。它不是一个需要额外解释的特例，而是加权平均这个结构的必然产物。

flowchart TB
    A["整体转化率 Y"] --> B["加权平均
Σ 各人群比率 × 各人群占比"]
    B --> C["比率因子
各人群自身的转化率"]
    C --> D["权重因子
各人群的人数占比"]

三、组间组内拆解法

3.1 两个贡献的定义与公式

先把本期数据摆平，后面所有推导都基于它：

记号约定：Yᵢ⁰ / Yᵢ¹ 是人群 i 的基期 / 当期转化率，Rᵢ⁰ / Rᵢ¹ 是人群 i 的基期 / 当期占比，Y⁰ / Y¹ 是基期 / 当期的整体转化率。

组内贡献（自身性）：假设人群结构一动不动，只让各人群自己的转化率走到当期值。

组内 = Σ (Yᵢ¹ − Yᵢ⁰) × Rᵢ⁰

组间贡献（结构性）：假设各人群的转化率保持不变，只让人群占比重新分配。

组间 = Σ (Yᵢ¹ − Y⁰) × (Rᵢ¹ − Rᵢ⁰)

组内项的读法很直白：“各人群自己变好或变坏了多少，按基期份额加权”。组间项的读法稍绕。它是"偏离大盘多少"乘以"份额变了多少”。 一个人群如果比大盘水平高（Yᵢ¹ > Y⁰）而份额又在涨，它就把整体往上拉；反过来就把整体往下拽。

3.2 恒等式推导

为什么这两个数加起来正好是 ΔY？推导只有三行，核心是占比之和恒为 1（ΣRᵢ¹ = ΣRᵢ⁰ = 1）：

Y¹ − Y⁰ = Σ Rᵢ¹Yᵢ¹ − Σ Rᵢ⁰Yᵢ⁰
        = Σ Rᵢ⁰(Yᵢ¹ − Yᵢ⁰)  +  Σ (Yᵢ¹ − Y⁰)(Rᵢ¹ − Rᵢ⁰)
          └──── 组内 ────┘        └──── 组间 ────┘

第二行怎么来的？把 Y¹ 拆成"基期占比配当期比率"和"当期占比配当期比率"两段之差，再用 ΣRᵢ¹ = ΣRᵢ⁰ = 1 把 Y⁰ 从第二段里换出来。具体说，重分配份额带来的变化是 Σ(Rᵢ¹ − Rᵢ⁰)Yᵢ¹；由于份额变化之和为 0，这个和里的 Yᵢ¹ 可以任意减去一个常数不减，取 Y⁰ 最合用——它正好把"这个人群比大盘高还是低"这层含义写进了公式。

这正是"固定一个基准就能把两个效应分开"的含义。 组内固定住 Rᵢ⁰ 让 Yᵢ 动，组间固定住 Yᵢ¹ 让 Rᵢ 动，两个扰动正交，切口干净。

flowchart TB
    A["整体比率变化 ΔY"] --> B["组内贡献
固定基期占比 R_i^0
让各人群自身比率 Y_i 变化"]
    B --> C["组间贡献
固定当期比率 Y_i^1
让各人群占比 R_i 变化"]
    C --> D["组内 + 组间 = ΔY
恒等闭合，无残差"]

组间项和第一篇讲的定基代替、泰勒展开不同：它不是近似展开，是恒等变形，所以没有残差。这和第二篇 里 LMDI 的性质一致。

3.3 一个必须说清的澄清

组内和组间都是加法型的，单位是百分点（pp），可以直接相加还原 ΔY。

这一点和第一篇的三种贡献度口径不一样，值得单独说：

关键差别在第三行。第一篇的 Cᵢ 是"某因子占了这次变化的百分之多少"，除以 ΔY 之后符号被 ΔY 统一带走。本文的组间项符号不由 ΔY 决定——本期 ΔY 是正的，组间却是 −0.2pp，意思是"结构变化在拖累整体"，而不是"结构贡献了 −25%"。这两种说法在 ΔY 很小时会差得很远：ΔY = +0.1pp 时，组间 −0.2pp 意味着结构变化的负面影响是整体变化的两倍，除以 ΔY 得到的"贡献度"读起来会非常费解。

所以本文不引入贡献度口径，组内、组间各自以 pp 报出，需要占比时再自行换算。

四、实算

第一步，算两期整体比率。

基期 Y⁰ = 0.60 × 25% + 0.40 × 15% = 21.00%
当期 Y¹ = 0.58 × 26% + 0.42 × 16% = 21.80%
ΔY = +0.80 pp

第二步，算组内贡献。

新客：(26% − 25%) × 0.60 = +0.60 pp
老客：(16% − 15%) × 0.40 = +0.40 pp
组内合计 = +1.00 pp

第三步，算组间贡献。Y⁰ 取 21.00%。

新客：(26% − 21.00%) × (0.58 − 0.60) = +4.50% × (−0.02) = −0.10 pp
老客：(16% − 21.00%) × (0.42 − 0.40) = −5.00% × (+0.02) = −0.10 pp
组间合计 = −0.20 pp

第四步，汇总并校验。

+1.00 + (−0.20) = +0.80 = ΔY ✓

读出结论：两群转化率各涨 1 个百分点，组内合计 +1.0pp，这是产品/体验改进的成果。结构变化贡献 −0.2pp：新客转化率比大盘高 5 个百分点，它份额掉了 2 个百分点，把整体往下拽；老客转化率比大盘低 5 个百分点，份额却涨了 2 个百分点，同样往下拽。两个方向一致，合计 −0.2pp。

这才是能落地的结论：产品改进赚到的 1.0 个百分点，被流量结构变化吃掉了 0.2 个百分点，净剩 0.8 个百分点。 只看整体，会以为改进只值 0.8pp，低估了产品侧的成绩；只看分群，会以为"两个群都涨 1pp，一切都好"，完全看不见那个一直在漏的结构漏洞。而且那 0.2pp 的责任方根本不在产品团队——它属于投放和流量策略。

五、辛普森悖论只是它的日常形态

第四节的结果已经站在辛普森悖论的门口了：每个群体都在变好，整体却只涨了 0.8pp 而不是 2.0pp。把结构变化的权重再推大一点，方向就会彻底反过来。

三种情形放在一起看：

反例一把两群的占比对调（新客 60% → 40%，老客 40% → 60%），转化率仍是各涨 1 个百分点，整体从 21.00% 掉到 20.00%。每群都在变好，整体在变差。 这就是辛普森悖论的教科书形态：每个分组单独看都是好消息，合起来是坏消息。

flowchart TB
    A["每个分组单独看
转化率都在上升"] --> B["但分组的权重同时在变
高转化人群占比下降"]
    B --> C["加权平均把改进抵消
整体反而下跌"]
    C --> D["辛普森悖论
不是特例，是加权平均的必然"]

反例二换个方向：新客转化率从 25% 掉到 24%，但新客占比从 60% 涨到 70%，老客转化率从 15% 涨到 16%、占比从 40% 掉到 30%。整体反而从 21.00% 涨到 21.60%——整体在涨，但新客在跌。

这两个反例不是编出来的极端值，是把本期数据换个权重就得到的结果。这就是"整体指标"和"分群体感"经常打架的根源：

• 老板看整体转化率，说"这个月涨了 0.8pp，还行"。
• 新客的运营看自己的盘，说"我涨了 1pp，做得不错"。
• 投放看结构，说"流量结构变差了"。

三个人都没说错，他们看的是三个不同的数。组间组内拆解的价值就在于把这三个数摆到同一张表上，让"到底该找谁"变成一个可讨论的问题，而不是各说各话。

顺带把辛普森悖论的谱系说清楚：辛普森悖论是现象，组间组内拆解是量它的工具。 E. H. Simpson 1951 年那篇论文讨论的是列联表里分层与合并后结论反转的统计解释；Kitagawa 1955 年的工作则给出了把两个率之差拆成"组内"和"组间"的标准做法。本文用的公式就是这一路，落到转化率上而已。

六、四个坑

6.1 坑一：分子分母必须是同期口径

转化率 = 支付用户数 / 访客数。两期必须是同一批用户的同一条漏斗。

最常见的翻车是分子分母来自不同时间窗：分子用"7 日内支付用户"，分母用"当日去重 UV"（跨天不累计）。这时比率根本不代表任何真实人群，ΔY 变成两个不同指标之差。

更麻烦的是这种不一致对不同人群的伤害不一样。高复购人群的支付行为天然跨天更多，改了时间窗之后他们的比率被压低、新客的比率几乎不动，于是 Rᵢ 也跟着变——最后冒出来一个看起来很专业的"结构性变化"，而它整个是口径造出来的。所以口径必须先排除，这正是第一篇 五步 SOP 里第 ② 步排在归因之前的原因。

6.2 坑二：去重指标的半可加性

第一篇 3.2 节讲过半可加：跨渠道 UV 加起来大于总 UV。在比率归因里后果更具体——Rᵢ 本该满足 ΣRᵢ = 1，一旦人群之间有重叠（“浏览过商详"和"加购过”），ΣRᵢ > 1，加权平均这个等式直接失效，恒等式不成立。

两个解法：

1. 唯一化：保证一个人在同一期只落进一个人群，比如首次触点归因。
2. 换权重口径：把人数换成人次，占比之和自然等于 1。

前提是先验证 ΣRᵢ = 1。这是第八节那段代码做的第一件事。

6.3 坑三：口径变更造成的假异动

埋点改了、去重规则改了、“支付用户"从"支付订单去重"换成"支付用户去重”——都会造出一次结构性跳变。

组间项是这类假异动最容易藏身的地方，因为口径变更改的是"谁被算进哪个人群"（Rᵢ），而各人群自身表现没变。信号特征很明确：组间项异常大，组内项异常小。 正常业务波动会让两个项一起动；只有 Rᵢ 被系统性改动时，才会出现组间独大。

处置还是第一篇的 SOP 第 ② 步：回溯口径生效时间，两期都按新口径重算。

6.4 坑四：分母本身在剧烈异动时

这一条最容易被忽略，也最容易把分析带偏。

设想搜索渠道的 UV 从 10 万掉到 5 万，转化率纹丝不动（还是 25%），其他渠道从 90 万掉到 85 万（还是 20%）。整体转化率从 20.50% 掉到 20.28%，只有 −0.22pp，看上去是"小波动"。但实际上 10 万访客没了。

这时候组间项算出 −0.22pp，其中搜索贡献 −0.20pp。运营读到会以为"搜索人群的结构性表现拖累了转化率"，于是去优化搜索落地页——而真相是投放侧砍掉了搜索一半的量，该做的是查预算。比率把一个 10 万量级的量级损失，压缩成了一个 0.22pp 的"小数字"。

所以顺序要反过来：分母在剧烈异动时，先用第一篇的 Delta 法归因访客数这个绝对量，确认是量的问题还是率的问题，再回头解释剩下的比率变化。

七、什么时候不该用比率归因

有三条红线，任意一条踩中都应该停下来：

第三条值得展开，因为它不直观。组间项里有一项 (Yᵢ¹ − Y⁰)，它直接乘在份额变化上，而低占比人群的转化率恰恰是抽样噪声最大的那个数。举例：某个占比 1% 的人群，转化率估计的标准误是 3.54pp（n=200、p=0.5 时），如果它的份额从 1% 涨到 5%，光是这 1 个标准误的噪声就会传导成 0.14pp 的组间项抖动——相当于本期整体变化 0.8pp 的 17.7%。排名靠前的人群结论看着最稳，排在后面的小人群反而最可能是噪声。

要判断某个小人群的比率估计够不够稳，可以直接看置信区间：转化率在 50% 附近时，95% 置信半宽要小于 2pp，需要样本量约 2400。达不到就把人群合并，或者对它的比率做贝叶斯收缩（shrinkage）后再参与加权。

八、Python 实现

拆解逻辑很短，但有三个地方容易写错：占比之和的校验、用基期权重算组内、以及把 pp 和比率混着输出。下面这段是可以直接用的版本。

from dataclasses import dataclass


@dataclass
class Segment:
    """一个人群的转化率与占比"""
    name: str
    rate_base: float      # 基期转化率 Y_i^0
    share_base: float     # 基期占比 R_i^0
    rate_curr: float      # 当期转化率 Y_i^1
    share_curr: float     # 当期占比 R_i^1

拆解函数只有十几行，但有三个地方容易写错：占比之和的校验、用基期权重算组内、以及把 pp 和比率混着输出。

def decompose_rate(segs: list[Segment]) -> dict:
    """组间组内拆解：把整体比率的变化拆成自身性变化与结构性变化"""
    # 前提校验：人群必须互斥完备，否则加权平均不成立（坑二）
    for label, key in (("基期", "share_base"), ("当期", "share_curr")):
        total = sum(getattr(s, key) for s in segs)
        if abs(total - 1.0) > 1e-9:
            raise ValueError(f"{label}占比之和为 {total:.6f}，不等于 1")

    y0 = sum(s.rate_base * s.share_base for s in segs)   # 基期整体比率
    y1 = sum(s.rate_curr * s.share_curr for s in segs)   # 当期整体比率

    rows = []
    for s in segs:
        within = (s.rate_curr - s.rate_base) * s.share_base            # 组内
        between = (s.rate_curr - y0) * (s.share_curr - s.share_base)   # 组间
        rows.append({"人群": s.name, "组内 pp": within * 100,
                     "组间 pp": between * 100, "小计 pp": (within + between) * 100})

    within_total = sum(r["组内 pp"] for r in rows)
    between_total = sum(r["组间 pp"] for r in rows)
    return {"基期 %": y0 * 100, "当期 %": y1 * 100, "ΔY pp": (y1 - y0) * 100,
            "明细": rows, "组内合计 pp": within_total, "组间合计 pp": between_total}

用本期数据跑一遍：

segs = [
    Segment("新客", 0.25, 0.60, 0.26, 0.58),
    Segment("老客", 0.15, 0.40, 0.16, 0.42),
]

r = decompose_rate(segs)
print(f"整体 CVR {r['基期 %']:.2f}% -> {r['当期 %']:.2f}%   ΔY = {r['ΔY pp']:+.2f} pp")
for row in r["明细"]:
    print(f"{row['人群']}: 组内 {row['组内 pp']:+.2f} pp | "
          f"组间 {row['组间 pp']:+.2f} pp | 小计 {row['小计 pp']:+.2f} pp")
print(f"合计: 组内 {r['组内合计 pp']:+.2f} pp | 组间 {r['组间合计 pp']:+.2f} pp")

# 恒等式校验：两项相加必须还原 ΔY（无残差）
assert abs(r["组内合计 pp"] + r["组间合计 pp"] - r["ΔY pp"]) < 1e-9

输出：

整体 CVR 21.00% -> 21.80%   ΔY = +0.80 pp
新客: 组内 +0.60 pp | 组间 -0.10 pp | 小计 +0.50 pp
老客: 组内 +0.40 pp | 组间 -0.10 pp | 小计 +0.30 pp
合计: 组内 +1.00 pp | 组间 -0.20 pp

换成别的维度只要改 Segment 列表，人群顺序不影响结果。工程上建议保留那句 assert：它是把 ΣRᵢ = 1 这个前提钉死的护栏，等价于对"人群划分互斥完备"做了一次在线体检——一旦上游把人群标签改成了可重叠的写法，这里会立刻抛错，而不是安静地算出一个看起来合理的错数。

**比率指标的变化，等于各人群自身变化的加权，加上人群结构变化的加权。**拆开这两项，你才知道该找产品还是找投放。

如果只能带走五句话：

1. **比率型指标不能直接拆。**整体是加权平均而非各分区之和，换表示才能拆：整体比率 = Σ(人群比率 × 人群占比)。
2. **加权平均里有两样东西在动。**各人群自身的比率（Yᵢ）和各人群的占比（Rᵢ），后者是结果的成因之一，不是噪音。
3. **组内 + 组间 = ΔY 是恒等式，没有残差。**两个数以 pp 报出，不要再除以 ΔY 变成贡献度。
4. **辛普森悖论是加权平均的必然产物。**只要各人群转化率不相等，“谁来了"和"来的人表现如何"就会拉扯，整体的方向可以和各分群完全相反。
5. **比率归因前先排掉三件事。**分子分母同期口径、人群互斥完备（ΣRᵢ = 1）、分母没有剧烈异动；分母塌方时先把访客数这个绝对量归因清楚。

九、参考资料

• Simpson, E. H. (1951). The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 13(2), 238–241. https://academic.oup.com/jrsssb/article/13/2/238/7069817
• Kitagawa, E. M. (1955). Components of a Difference Between Two Rates. Journal of the American Statistical Association, 50(272), 1168–1194. https://doi.org/10.2307/2281213
• 组间 / 组内拆解在面板数据计量中的对应讨论（pooled OLS 与 fixed effects 的对比）：Wooldridge, Introductory Econometrics: A Modern Approach. https://www.cengage.com/c/introductory-econometrics-a-modern-approach-7e-wooldridge/9781337558860/